要判断函数在给定区间上是否单调递增,可以通过求导并分析导数的符号来确定。以下是具体步骤及示例分析:
判断方法
- 求导数:计算函数的一阶导数。
- 分析导数的符号:
- 若导数在区间内 非负(导数 ≥ 0),则函数在该区间上单调递增。
- 若导数在区间内 恒正(导数 > 0),则函数在该区间上严格单调递增。
示例分析
假设题目选项如下(需根据实际题目调整):
选项A:( f(x) = x^2 ),区间为 ([0, +\infty))
- 导数:( f'(x) = 2x )
- 分析:
- 当 ( x \in [0, +\infty) ),( 2x \geq 0 )(仅在 ( x=0 ) 时导数为 0)。
- 结论:单调递增(非严格)。
选项B:( f(x) = e^x ),区间为 ((-\infty, +\infty))
- 导数:( f'(x) = e^x )
- 分析:
- 对所有实数 ( x ),( e^x > 0 )。
- 结论:严格单调递增。
选项C:( f(x) = -\frac{1}{x} ),区间为 ((0, +\infty))
- 导数:( f'(x) = \frac{1}{x^2} )
- 分析:
- 当 ( x \in (0, +\infty) ),( \frac{1}{x^2} > 0 )。
- 结论:严格单调递增。