椭圆曲线上的基本运算主要包括以下几种：
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### 1. **点加运算（Point Addition）**
两个不同的点 \( P \) 和 \( Q \) 相加得到第三个点 \( R \)，即：
\[
P + Q = R
\]
几何意义：连接 \( P \) 和 \( Q \) 的直线与椭圆曲线的第三个交点关于 x 轴的对称点。
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### 2. **倍点运算（Point Doubling）**
一个点 \( P \) 与自身相加，即：
\[
P + P = 2P
\]
几何意义：椭圆曲线在 \( P \) 处的切线与曲线的另一个交点关于 x 轴的对称点。
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### 3. **标量乘法（Scalar Multiplication）**
通过多次点加和倍点运算实现，即对一个点 \( P \) 乘以一个整数 \( k \)：
\[
kP = \underbrace{P + P + \cdots + P}_{k \text{ 次}}
\]
这是椭圆曲线密码学（ECC）的核心操作（如 ECDSA、ECDH）。
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### 4. **无穷远点（Point at Infinity）**
记为 \( \mathcal{O} \)，是椭圆曲线群的单位元，满足：
\[
P + \mathcal{O} = P
\]
几何意义：所有竖直线在无穷远处相交的“点”。
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### 5. **逆元运算（Inverse）**
对点 \( P = (x, y) \)，其逆元为 \( -P = (x, -y) \)，满足：
\[
P + (-P) = \mathcal{O}
\]
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### 总结
椭圆曲线上的运算本质是定义在有限域上的代数群操作，这些基本运算构成了椭圆曲线密码学的基础。
