好的，这个问题其实可以用平方差公式来简化计算。平方差公式是 \((a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)\)。
我们来看一下题目中的表达式：\(100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + 96^2 - 95^2 + \ldots + 2^2 - 1^2\)。
首先，我们可以把每一对相邻的项用平方差公式拆开：
- \(100^2 - 99^2 = (100 + 99)(100 - 99) = 199 \times 1 = 199\)
- \(98^2 - 97^2 = (98 + 97)(98 - 97) = 195 \times 1 = 195\)
- \(96^2 - 95^2 = (96 + 95)(96 - 95) = 191 \times 1 = 191\)
- ...
- \(2^2 - 1^2 = (2 + 1)(2 - 1) = 3 \times 1 = 3\)
接下来，我们把所有这些结果加起来：
\[199 + 195 + 191 + \ldots + 3\]
这个序列是一个公差为4的等差数列，从199开始，到3结束。我们可以求出这个数列的总和。
首先，找出这个数列的项数：
\[n = \frac{199 - 3}{4} + 1 = 50\]
然后，使用等差数列的求和公式 \(S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\)，其中 \(a_1\) 是首项，\(a_n\) 是末项，\(n\) 是项数：
\[S_{50} = \frac{50}{2} (199 + 3) = 25 \times 202 = 5050\]
所以，最终结果是：
\[100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + 96^2 - 95^2 + \ldots + 2^2 - 1^2 = 5050\]