已知 $\sin\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{5}$，求 $\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right)$ 的值。
---
### 解法一：利用互余关系
观察角度 $\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi}{6} - a\right)$ 的关系：
$$
\left(a + \frac{\pi}{3}\right) + \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{2}.
$$
根据三角函数的互余关系 $\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$，可得：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sin\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{5}.
$$
---
### 解法二：角度和差公式展开
1. **已知条件展开**：
$$
\sin\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \sin a \cos\frac{\pi}{3} + \cos a \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin a + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a = \frac{3}{5}.
$$
2. **目标表达式展开**：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos a + \sin\frac{\pi}{6}\sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a.
$$
对比两式可得：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{3}{5}.
$$
---
### 最终答案
$$
\boxed{\dfrac{3}{5}}
$$
3 个回答
根据三角函数的和差公式，我们有：
$$\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \left(a - \frac{\pi}{3}\right)\right) = -\sin\left(a - \frac{\pi}{3}\right)$$
又因为：$\sin\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{5}$
所以：$\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = -\sin\left(a - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(- \left(a + \frac{\pi}{3}\right)\right)$
由于正弦函数是奇函数，即$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$。
因此，我们可以得到：
$$\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sin\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{5}$$
所以，$\cos\left(\frac{\pi}{6} - a\right)$的值为$\frac{3}{5}$。
首先，我们知道sin(a+π/3) = sin(a)cos(π/3) + cos(a)sin(π/3)。由于cos(π/3) = √3/2，sin(π/3) = 1/2，所以有(√3/2)sin(a) + (1/2)cos(a) = 3/5。接下来，我们需要解这个方程来找到sin(a)和cos(a)的值。由于我们只需要求cos(π/6-a)，我们可以先不急于求解a，而是直接使用余弦的和差化积公式。余弦的和差化积公式为cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB。将π/6-a代入A，π/3代入B，我们得到cos(π/6-a) = cos(π/6)cos(π/3) + sin(π/6)sin(π/3)。由于cos(π/6) = √3/2，sin(π/6) = 1/2，所以cos(π/6-a) = (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1。