首先，我们考虑函数的定义域。由于对数函数 log₃x 要求 x > 0，所以 x 的取值范围是 (0, +∞)。接下来，我们分析函数的单调性。对于 log₃x，当 x 增加时，函数值也增加；对于 lgx，当 x 增加时，函数值减少。因此，f(x) = log₃x * lgx 是一个先增后减的函数。为了找到极值点，我们可以计算函数的导数并令其为零。设 f'(x) 为 f(x) 的导数，则有： ``` f'(x) = d/dx [log₃x * lgx] = (1/x * ln3) * lgx + log₃x * (1/x) ``` 令 f'(x) = 0，解得： ``` (1/x * ln3) * lgx + log₃x * (1/x) = 0 ``` 化简得： ``` lgx * (ln3 + 1/x * lnx) = 0 ``` 由于 lgx 总是大于等于0（当且仅当 x > 1 时等于0），所以我们得到： ``` ln3 + 1/x * lnx = 0 ``` 解这个方程，我们可以得到 x 的临界值。然后，我们可以检查这些临界值以及定义域端点处的函数值，以确定函数的最大值和最小值。最后，根据这些值，我们可以得出函数的值域。