要求解函数 $f(x) = \log_3 x \cdot \lg x$ 的值域，可以通过以下步骤分析：
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### **1. 定义域**
首先，对数函数 $\log_3 x$ 和 $\lg x$ 的定义域均为 $x > 0$，因此原函数的定义域为：
$$
x > 0
$$
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### **2. 表达式化简**
利用换底公式，将两个对数统一为自然对数：
$$
\log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}, \quad \lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}
$$
因此，原函数可表示为：
$$
f(x) = \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 10} = \frac{(\ln x)^2}{\ln 3 \cdot \ln 10}
$$
---
### **3. 分析变量替换**
令 $t = \ln x$，则 $t$ 的取值范围为全体实数（因为 $x > 0$ 时，$\ln x$ 可正可负）。此时函数简化为：
$$
f(t) = \frac{t^2}{\ln 3 \cdot \ln 10}
$$
显然，$\ln 3 \cdot \ln 10 > 0$（因为 $\ln 3$ 和 $\ln 10$ 均为正数），因此 $f(t)$ 是一个关于 $t$ 的二次函数，开口向上，最小值为 $0$。
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### **4. 极值分析**
二次函数 $f(t) = \frac{t^2}{\ln 3 \cdot \ln 10}$ 的最小值在 $t = 0$ 时取得：
$$
f(0) = 0
$$
当 $t \to \pm\infty$ 时，$f(t) \to +\infty$。
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### **5. 值域**
结合以上分析，原函数的值域为：
$$
\text{值域} = [0, +\infty)
$$
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### **验证**
- 当 $x = 1$ 时，$\log_3 1 = 0$，$\lg 1 = 0$，故 $f(1) = 0$。
- 当 $x > 1$ 时，$\log_3 x > 0$，$\lg x > 0$，故 $f(x) > 0$。
- 当 $0 < x < 1$ 时，$\log_3 x < 0$，$\lg x < 0$，两负数相乘仍为正，故 $f(x) > 0$。
综上，函数的值域为 **所有非负实数**。
3 个回答
要求解函数 \( f(x) = \log_3 x \cdot \lg x \) 的值域，我们可以按照以下步骤进行：
1. 首先，我们需要明确函数的定义域。由于 \(\log_3 x\) 和 \(\lg x\) 都要求 \(x > 0\)，因此定义域为 \((0, +\infty)\)。
2. 接下来，我们将函数改写成对数的形式，以便于分析。我们知道 \(\log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}\)，\(\lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}\)。因此，函数可以写成：
\[ f(x) = \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 10} = \frac{(\ln x)^2}{\ln 3 \cdot \ln 10} \]
3. 现在，我们来分析函数的值域。注意到 \(\ln x\) 在定义域内是单调递增的，且 \(\ln x\) 的取值范围是 \((-\infty, +\infty)\)。因此，\(\ln x\) 的平方也是非负的。
4. 由于 \(\ln 3\) 和 \(\ln 10\) 都是正数，所以分母 \(\ln 3 \cdot \ln 10\) 也是正数。因此，整个函数 \( f(x) \) 是非负的。
5. 当 \( x = 1 \) 时，\(\ln x = 0\)，此时 \( f(x) = 0 \)。
6. 当 \( x \to +\infty \) 时，\(\ln x \to +\infty\)，因此 \( f(x) \to +\infty \)。
7. 因此，函数 \( f(x) = \log_3 x \cdot \lg x \) 的值域是 \([0, +\infty)\)。
综上所述，函数 \( f(x) = \log_3 x \cdot \lg x \) 的值域是 \([0, +\infty)\)。
首先，我们考虑函数的定义域。由于对数函数 log₃x 要求 x > 0，所以 x 的取值范围是 (0, +∞)。接下来，我们分析函数的单调性。对于 log₃x，当 x 增加时，函数值也增加；对于 lgx，当 x 增加时，函数值减少。因此，f(x) = log₃x * lgx 是一个先增后减的函数。为了找到极值点，我们可以计算函数的导数并令其为零。设 f'(x) 为 f(x) 的导数，则有：
```
f'(x) = d/dx [log₃x * lgx] = (1/x * ln3) * lgx + log₃x * (1/x)
```
令 f'(x) = 0，解得：
```
(1/x * ln3) * lgx + log₃x * (1/x) = 0
```
化简得：
```
lgx * (ln3 + 1/x * lnx) = 0
```
由于 lgx 总是大于等于0（当且仅当 x > 1 时等于0），所以我们得到：
```
ln3 + 1/x * lnx = 0
```
解这个方程，我们可以得到 x 的临界值。然后，我们可以检查这些临界值以及定义域端点处的函数值，以确定函数的最大值和最小值。最后，根据这些值，我们可以得出函数的值域。