费马小定理的证明可以通过数论中的拉格朗日定理来完成。拉格朗日定理指出，对于任意有限群G和元素g∈G，g的阶（即g^n=e的最小正整数n）必须整除G的阶。在模p的情况中，我们可以将整数集Z_p看作一个群，其中加法运算定义为模p的和。由于p是质数，所以Z_p的阶为p。 现在考虑集合A = {1, 2, ..., p-1}，这是小于p的正整数集合。我们想要找到一个元素a∈A，使得a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。如果存在这样的a，那么根据拉格朗日定理，a的阶必须整除p-1。但是p-1是质数p的因子，所以a的阶只能是1或者p-1。 如果a的阶是1，那么a = 1，此时a^(p-1) = 1^(p-1) = 1，满足条件。 如果a的阶是p-1，那么对于任意1 ≤ i ≤ p-2，都有a^i ≠ 1 (mod p)，因为这将意味着a的阶小于p-1，与我们的假设矛盾。因此，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。 综上所述，我们证明了费马小定理：如果p是一个质数，a是一个整数且a与p互质，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。