### 问题重述 在三角形ABC中，已知： - BD = AC - ∠ADC = 54° - ∠CAD = 42° 求角B的度数。 --- ### 解题步骤 #### 第一步：画图并标注已知条件 先画出三角形ABC，然后在边BC上取一点D，使得BD = AC。连接AD，形成两个新的角：∠ADC = 54°和∠CAD = 42°。现在需要找到∠B的值。 #### 第二步：分析三角形ADC 观察三角形ADC： - 已知两个内角：∠CAD = 42°，∠ADC = 54°。 - 根据三角形内角和为180°，可以计算出第三个角∠ACD： \[ ∠ACD = 180° - ∠CAD - ∠ADC = 180° - 42° - 54° = 84° \] 所以，∠ACD = 84°。 #### 第三步：利用等长关系构造全等或相似 题目给出BD = AC。注意到AC是原三角形的一条边，而BD是从B出发到D的长度。我们可以尝试通过某种方式将这两条相等的线段联系起来。 考虑在三角形ABD和三角形CA...（这里可能需要调整思路）。更直接的方法是构造辅助线或使用正弦定理/余弦定理，但或许有更简单的几何方法。 #### 第四步：尝试构造全等三角形 设AC = BD = x。我们需要找到一个与这些线段相关的全等三角形。观察到： - 在三角形ADC中，我们知道了所有三个角度和一个边的相对关系。如果能证明某个其他三角形与之全等，就可以推导出更多信息。 然而，目前没有明显的全等对应关系。换一种思路：利用正弦定理。 #### 第五步：应用正弦定理 在三角形ADC中，根据正弦定理： \[ \frac{AC}{\sin(∠ADC)} = \frac{DC}{\sin(∠CAD)} \] 即： \[ \frac{x}{\sin(54°)} = \frac{DC}{\sin(42°)} \\ DC = x \cdot \frac{\sin(42°)}{\sin(54°)} \] 同样，在三角形ABD中，BD = x，且∠ADB可以通过直线角度关系得到： 因为∠ADC = 54°，所以∠ADB = 180° - ∠ADC = 126°（邻补角）。 再次应用正弦定理于三角形ABD： \[ \frac{AB}{\sin(∠ADB)} = \frac{BD}{\sin(∠BAD)} \\ \frac{AB}{\sin(126°)} = \frac{x}{\sin(∠BAD)} \\ AB = x \cdot \frac{\sin(126°)}{\sin(∠BAD)} \] 但这似乎复杂化了问题。让我们回到纯几何方法。 #### 第六步：重新审视角度关系 我们已经求得∠ACD = 84°。注意到点D在BC上，因此： \[ ∠ACB = ∠ACD = 84° \] （因为D在BC上，∠ACB就是∠ACD） 现在看三角形ABC： - 已知∠ACB = 84° - 需要求∠B - 如果能找到∠A，就可以用内角和求出∠B 如何求∠A？注意∠A由两部分组成：∠CAD和∠BAD。已知∠CAD = 42°，所以需要求∠BAD。 #### 第七步：利用等腰三角形性质 关键在于BD = AC。假设AC = BD = x。考虑将这两个相等的线段作为对应边。 构造一个辅助点E使得AE = AB，但这可能无帮助。另一种方法是直接比较三角形。 观察到： - 在三角形ABD中，BD = AC，且∠ADB = 126°（如前所述） - 在三角形ACB中，AC = BD，∠ACB = 84° 看起来难以直接关联。改用坐标系法试试。 #### 第八步：坐标系法 设点A在原点(0,0)，AC沿x轴正方向放置，长度为1（即C=(1,0)）。则： - A=(0,0), C=(1,0) - ∠CAD=42°意味着AD的方向与x轴成42°角。设AD的长度为d，则D的坐标为 (d cos42°, d sin42°) - ∠ADC=54°是在点D处的角，由向量DA和DC决定。向量DA=(-d cos42°, -d sin42°)，向量DC=(1 - d cos42°, -d sin42°) 计算这两个向量的夹角是否为54°： \[ \cos(54°) = \frac{DA \cdot DC}{|DA||DC|} \] 展开点积： \[ DA \cdot DC = (-d \cos42°)(1 - d \cos42°) + (-d \sin42°)(-d \sin42°) \\ = -d \cos42° + d^2 \cos^2 42° + d^2 \sin^2 42° \\ = -d \cos42° + d^2 (\cos^2 42° + sin^2 42°) \\ = -d \cos42° + d^2 \] 模长： \[ |DA| = d, \quad |DC| = \sqrt{(1 - d \cos42°)^2 + (d \sin42°)^2} = \sqrt{1 - 2d \cos42° + d^2} \] 因此： \[ \cos(54°) = \frac{-d \cos42° + d^2}{d \sqrt{1 - 2d \cos42° + d^2}} = \frac{-\cos42° + d}{\sqrt{1 - 2d \cos42° + d^2}} \] 两边平方后整理： \[ \cos^2(54°) = \frac{(\cos42° - d)^2}{1 - 2d \cos42° + d^2} \] 分子展开： \[ (\cos42° - d)^2 = \cos^2 42° - 2d \cos42° + d^2 \] 分母相同，因此： \[ \cos^2(54°) = \frac{\cos^2 42° - 2d \cos42° + d^2}{1 - 2d \cos42° + d^2} = 1 \] 这意味着： \[ \cos^2(54°) = 1 \] 显然不成立，说明坐标系的设定可能有误。放弃此方法。 #### 第九步：修正思路——外接圆与圆周角 考虑三角形ADC的外接圆。由于BD = AC，可能存在某种对称性。 观察到： - ∠ADC = 54°，对应的弧是AC。 - 因为BD = AC，所以BD也对应同样的弧长，意味着∠BAC = ∠ADC = 54°。 验证： 如果∠BAC = 54°，那么在三角形ABC中： \[ ∠A = ∠BAC = 54°, \quad ∠C = 84° \\ ∠B = 180° - 54° - 84° = 42° \] 检查是否自洽： - ∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 54° - 42° = 12° - 在三角形ABD中，BD = AC，∠ADB = 126°，∠BAD = 12°，所以∠ABD = 180° - 126° - 12° = 42° 这与∠B = 42°一致。 因此，角B的度数为42度。 --- ### 最终答案 角B的度数是 **42度**。

在三角形ABC中，已知BD等于AC，角ADC等于54度，角CAD等于42度。我们需要求角B的度数。 首先，我们可以利用三角形内角和的性质来解决这个问题。一个三角形的内角和总是等于180度。所以，我们可以得到以下等式： ``` 180 = 54 + 42 + x ``` 其中x代表角B的度数。解这个方程，我们可以得到： ``` x = 180 - 54 - 42 x = 84 ``` 所以，角B的度数是84度。

首先，我们可以利用三角形内角和定理来解决这个问题。三角形内角和定理告诉我们，一个三角形的三个内角的度数之和总是等于180度。所以，我们可以设角B的度数为x度。那么，根据题目给出的信息，我们可以得到以下方程：