要解方程 \(\frac{1}{X + \frac{1}{5}} = \frac{5}{3}\)，可以按以下步骤进行：
### 步骤 1：交叉相乘消去分母
将方程两边交叉相乘：
\[
1 \cdot 3 = 5 \cdot \left( X + \frac{1}{5} \right)
\]
化简后得到：
\[
3 = 5X + 1
\]
### 步骤 2：解一元一次方程
移项并解 \(X\)：
\[
3 - 1 = 5X \implies 2 = 5X \implies X = \frac{2}{5}
\]
### 步骤 3：验证解的合理性
将 \(X = \frac{2}{5}\) 代入原方程的分母部分：
\[
X + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \neq 0
\]
分母不为零，解有效。
### 最终答案
\[
X = \boxed{\dfrac{2}{5}}
\]
