一个圆柱，如果其高度增加2分米，那么它的表面积会增加25.12平方分米，同时体积会增加40%。请问原来的圆柱体积是多少立方分米？

问题重述

一个圆柱，如果其高度增加2分米，那么它的表面积会增加25.12平方分米，同时体积会增加40%。请问原来的圆柱体积是多少立方分米？

解题步骤

1. 设定变量

设原圆柱的高为 ( h ) 分米，底面半径为 ( r ) 分米。
则：

• 原侧面积 = ( 2\pi r h )
• 新高度 = ( h + 2 )
• 新侧面积 = ( 2\pi r (h + 2) )
• 表面积增加量 = 新侧面积 − 原侧面积 = ( 2\pi r (h + 2) - 2\pi r h = 4\pi r )
  根据题意，表面积增加了25.12平方分米，因此：
  [ 4\pi r = 25.12 ]
  取 (\pi \approx 3.14)，代入得：
  [ 4 \times 3.14 \times r = 25.12 ]
  [ r = \frac{25.12}{4 \times 3.14} = 2 \text{ 分米} ]

2. 利用体积变化关系

原体积为 ( V_{\text{原}} = \pi r^2 h )，新体积为 ( V_{\text{新}} = \pi r^2 (h + 2) )。
题目说体积增加了40%，即：
[ V_{\text{新}} = V_{\text{原}} + 0.4 V_{\text{原}} = 1.4 V_{\text{原}} ]
代入表达式：
[ \pi r^2 (h + 2) = 1.4 \pi r^2 h ]
两边约去 (\pi r^2)（(r > 0)）：
[ h + 2 = 1.4 h ]
解得：
[ 2 = 0.4 h ]
[ h = 5 \text{ 分米} ]

3. 计算原体积

已知 ( r = 2 ) 分米，( h = 5 ) 分米，则原体积为：
[ V_{\text{原}} = \pi r^2 h = 3.14 \times 2^2 \times 5 = 3.14 \times 4 \times 5 = 62.8 \text{ 立方分米} ]

最终答案

原来的圆柱体积是 62.8 立方分米。

我们需要求解原圆柱的体积。已知当高度增加2分米时，表面积增加25.12平方分米，体积增加40%。步骤如下：

1. 体积关系分析

设原圆柱的半径为 ( r )，高度为 ( h )，体积为 ( V = \pi r^2 h )。

当高度增加2分米后，体积变为： [ V' = \pi r^2 (h + 2) ] 根据题意，体积增加40%，即： [ \pi r^2 (h + 2) = 1.4 \pi r^2 h ] 两边约去 ( \pi r^2 )，得： [ h + 2 = 1.4h \quad \Rightarrow \quad 0.4h = 2 \quad \Rightarrow \quad h = 5 , \text{分米} ]

2. 表面积关系分析

原表面积： [ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h ] 高度增加2分米后，表面积变为： [ S' = 2\pi r^2 + 2\pi r (h + 2) ] 表面积增量来自侧面积： [ \Delta S = 2\pi r \cdot 2 = 4\pi r = 25.12 , \text{平方分米} ] 解得半径： [ r = \frac{25.12}{4\pi} = \frac{25.12}{4 \times 3.14} = 2 , \text{分米} ]

3. 求原体积

代入 ( r = 2 , \text{分米} ) 和 ( h = 5 , \text{分米} )： [ V = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi , \text{立方分米} ] 取 ( \pi \approx 3.14 )，则： [ V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 , \text{立方分米} ]

答案
原来的圆柱体积是 (\boxed{62.8}) 立方分米。

假设原来的圆柱底面半径为r分米，高为h分米。那么原始圆柱的体积V为πr²h立方分米。当高度增加2分米后，新的高度为h+2分米。根据题目，新的表面积为2πr(h+2)平方分米，体积为πr²(h+2)立方分米。

由于表面积增加了25.12平方分米，我们可以得到方程：2πr(h+2) - 2πrh = 25.12。简化后得到：4πr = 25.12。从这个方程中解出r，我们得到r = 25.12 / (4π)。

接下来，我们利用体积增加的百分比来求解h。体积增加了40%，所以新的体积是原来体积的1.4倍。即πr²(h+2) = 1.4πr²h。将r的表达式代入，得到(25.12 / (4π))(h+2) = 1.4 * πr²h。进一步化简得到h+2 = 1.4h，解得h = 8分米。

现在我们有了r和h的值，可以计算原始圆柱的体积：V = πr²h = π * (25.12 / (4π))² * 8 = 125.6立方分米。

综上所述，原来的圆柱体积是125.6立方分米。